Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=x+4上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11项和为154．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列d_n=2ⁿ an，求数列{d_n}的前n项和T_n；
（3）设c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞

k

75

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得S_n=n²+4n，由此能求出a_n=2n+3．由此条件得{b_n}是等差数列，由等差数列的通项公式和前n项和公式求出b₁=-1，d=3，由此能求出b_n=3n-4．
（2）由d_n=2ⁿ an=（2n+3）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{d_n}的前n项和T_n．
（3）由c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂项求和法能求出使不等式T_n＞

k

75

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值是49．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=x+4上，
∴

Sn

n

=n+4，∴S_n=n²+4n，
当n=1时，a₁=S₁=1+4=5，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+4n）-[（n-1）²+4（n-1）]=2n+3，
n=1时也成立，
∴a_n=2n+3．
数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₄=8，前11项和为154，
∴{b_n}是等差数列，且

b   1 +3d=8 11b1+ 11×10 2 d=154

，
解得b₁=-1，d=3，
∴b_n=-1+3（n-1）=3n-4．
（2）d_n=2ⁿ an=（2n+3）•2ⁿ，
∴T_n=5•2+7•2²+9•2³+…+（2n+3）•2ⁿ，①
2T_n=5•2²+7•2³+9•2⁴+…+（2n+3）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=10+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺¹-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=10+

8(1-2n-1)

1-2

-（2n+3）•2ⁿ⁺¹
=2-（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n+1）•2ⁿ⁺¹-2．
（3）c_n=

3

2(an-2)(2bn+5)

=

1

2(2n+1)(2n-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
∵Tn=1-

1

2n+1

是增函数，∴（T_n）_min=T₁=1-

1

2+1

=

2

3

，
∴使不等式T_n＞

k

75

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值满足：

k

75

＜

2

3

，解得k＜50，
∴使不等式T_n＞

k

75

对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值是49．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的最大整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．