Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π-B）
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=$\sqrt{21}$，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a+c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件和正弦定理化简可得cosB值，结合0＜B＜π可得；
（Ⅱ）由题意和三角形的面积公式可得ac=4，由余弦定理和配方法整体可得．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（π-B），
∴由正弦定理可得sinBcosA=2sinC（-cosB）+sinA（-cosB），
∴sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB，
∴sin（A+B）=-2sinCcosB=sinC，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，由0＜B＜π可得$B=\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}ac×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，∴ac=4，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac+ac=21，
∴（a+c）²=25，∴a+c=5

点评 本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．