题目内容
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an=
+2 （n-1）（n∈N*）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得S1+
+
+…+
-（n-1）2=2013？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
（3）设Cn=
（n∈{N*}），Tn=c1+c2+c3+…+cn（n∈N*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞
成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
| Sn |
| n |
（1）求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；
（2）是否存在自然数n，使得S1+
| S2 |
| 2 |
| S3 |
| 3 |
| Sn |
| n |
（3）设Cn=
| 2 |
| n(an+7) |
| m |
| 32 |
考点：数列的求和,等差数列的性质
专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析：（1）把递推式变形得到Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*），结合n≥2时an=Sn-Sn-1得到数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列，进一步求出an和Sn；
（2）把Sn代入S1+
+
+…+
-（n-1）2=2013化简即可求得n的值；
（3）把an代入Cn=
，整理后求得Tn=c1+c2+c3+…+cn，再由Tn＞
成立求得最大的整数m．
（2）把Sn代入S1+
| S2 |
| 2 |
| S3 |
| 3 |
| Sn |
| n |
（3）把an代入Cn=
| 2 |
| n(an+7) |
| m |
| 32 |
解答：
（1）证明：由an=
+2（n-1），
得Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），
即an-an-1=4，
故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．
于是，an=4n-3，
Sn=
=2n2-n （n∈N*）；
（2）解：由Sn=nan-2n（n-1），得
=2n-1 （n∈N*），
又S1+
+
+…+
-（n-1）2=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）2=n2-（n-1）2=2n-1．
令2n-1=2013，得n=1007，即存在满足条件的自然数n=1007；
（3）解：∵Cn=
=
=
(
-
)，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=
[(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=
(1-
)=
．
要使Tn＞
总成立，需
＜T1=
成立，即m＜8且m∈Z，
故适合条件的m的最大值为7．
| Sn |
| n |
得Sn=nan-2n（n-1）（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-4（n-1），
即an-an-1=4，
故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．
于是，an=4n-3，
Sn=
| (a1+an)n |
| 2 |
（2）解：由Sn=nan-2n（n-1），得
| Sn |
| n |
又S1+
| S2 |
| 2 |
| S3 |
| 3 |
| Sn |
| n |
令2n-1=2013，得n=1007，即存在满足条件的自然数n=1007；
（3）解：∵Cn=
| 2 |
| n(an+7) |
| 1 |
| n(2n+2) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n+1 |
| n |
| 2(n+1) |
要使Tn＞
| m |
| 32 |
| m |
| 32 |
| 1 |
| 4 |
故适合条件的m的最大值为7．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，训练了错位相减法求数列的和，考查了利用不等式恒成立求参数的取值范围，是中档题．
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