Question

在平面直角坐标系中，对于一条折线C：A₁-A₂-…-A_n，若能再作出一条折线C′：A₁-B₂-B₃-…-B_n-1-A_n，使得A₁B₂⊥A₁A₂，B₂B₃⊥A₂A₃，…，B_n-1A_n⊥A_n-1A_n（其中A₁，A₂，A₃，…，A_n，B₂，B₃，…，B_n-1都是整点），则称折线C′是折线C的一条共轭折线（说明：横、纵坐标均为整数的点成为整点）．
（Ⅰ）请分别判断图（1），（2）中，虚折线是否是实折线的一条个，共轭折线；

（Ⅱ）试判断命题“对任意的n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A₁-A₂-…-A_n有共轭折线”的真假，并举例说明；
（Ⅲ）如图（3），折线C：A₁-A₂-A₃-A₄，其中A₁（0，0），A₂（3，1），A₃（6，0），A₄（9，1）．求证：折线C无共轭折线．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据已知中折线C′是折线C的一条共轭折线的定义，判断B_n-1A_n⊥A_n-1A_n是否横成立，即可得到答案；
（II）分当n为奇数时，和当n为偶数时两种情况，分析讨论证明，最后综合讨论结果，可得：命题“对任意n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A₁-A₂-…-A_n有共轭折线”是真命题；
（III）假设折线B₁-B₂-B₃-B₄是题设中折线C的一条共轭折线（其中B₁=A₁，B₄=A₄），设

BtBt+1

=(xt，yt)，则B_tB_t+1⊥A_tA_t+1，根据向量垂直的充要条件，构造方程组，判断方程是否有解后，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）（1）不是，因为线段A₁B₂与线段A₁A₂不垂直；
（2）不是，因为线段B₂B₃与线段A₂A₃不垂直．…（2分）
（Ⅱ）命题“对任意n∈N且n＞2，总存在一条折线C：A₁-A₂-…-A_n有共轭折线”是真命题．理由如下：
当n为奇数时，不妨令n=2k-1，k=2，3，4，…，
取折线C：A₁-A₂-…-A_2k-1．其中 A_i（a_i，b_i）（i=1，2，…，2k-1），
满足a_i=i-1（i=1，2，…，2k-1），b_2i-1=0（i=1，2，…，k），b_2i=1（i=1，2，…，k-1）．
则折线C的共轭折线为折线C关于x轴对称的折线．如图所示．

当n为偶数时，不妨令n=2k，k=2，3，4，…，
取折线C：A₁-A₂-…-A_2k．其中A_i（a_i，b_i）（i=1，2，…，2k），
满足a_i=i-1（i=1，2，…，2k-1），a_2k=2k，b_2i-1=0（i=1，2，…，k），b_2i=1（i=1，2，…，k）．
折线C的共轭折线为折线C'：B₁-B₂-…-B_2k．
其中B_i（x_i，y_i）（i=1，2，…，2k）满足：
x_i=i-1（i=1，2，…，2k-3），
x_2k-2=2k-1，x_2k-1=2k+1，x_2k=2k，
y_2i-1=0（i=1，2，…，k-1），
y_2i=-1（i=1，2，…，k-2），
y_2k-2=-3，
y_2k-1=-1，
y_2k=1．
如图所示．…（7分）

注：本题答案不唯一．
证明：（Ⅲ）假设折线B₁-B₂-B₃-B₄是题设中折线C的一条共轭折线（其中B₁=A₁，B₄=A₄），
设

BtBt+1

=(xt，yt)（t=1，2，3），显然x_t，y_t为整数．
则由B_tB_t+1⊥A_tA_t+1，
得：

3x1+y1=0，① 3x2-y2=0，② 3x3+y3=0，③ x1+x2+x3=9，④ y1+y2+y3=1．⑤

由①②③式得

y1=-3x1 y2=3x2 y3=-3x3

这与⑤式矛盾，因此，折线C无共轭折线．…（11分）

点评：本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，其中正确理解新定义：折线C′是折线C的一条共轭折线的含义是解答的关键，本题综合性强，运算量大，属于难题．