Question

已知幂函数f（x）=x^-m2+m+2（m∈Z）在（0，+∞）上单调递增．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-ax+1，a为实常数，求g（x）在区间[-1，1]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件可得-m²+m+2＞0，解得m的范围m．再结合m∈Z，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）由（1）知g（x）=x²-ax+1，再分①若

a

2

≤-1、②若-1＜

a

2

≤1、③若

a

2

＞1三种情况，分别利用二次函数的性质，求得g（x）_min．．

解答： 解：（1）因为幂函数f（x）=x^-m2+m+2 在（0，+∞）上单调递增，
所以-m²+m+2＞0，故-1＜m＜2．
又因为m∈Z，故m=0，或m=1，所以f（x）=x²．
（2）由（1）知g（x）=x²-ax+1，
①若

a

2

≤-1，即a≤-2时，g（x）在[-1，1]上单调递增，
所以g（x）_{mi n}=g（-1）=a+2．
②若-1＜

a

2

≤1，即-2＜a≤2时，
g（x）在[-1，

a

2

]上单调递减，[

a

2

，1]上单调递增，
所以g（x）_min=g（

a

2

）=1-

a2

4

．
③若

a

2

＞1，即a＞2时，g（x）在[-1，1]上单调递减，
所以g（x）_min=g（1）=2-a．
综上：a≤-2时，g（x）在区间[-1，1]上的最小值为a+2；
-2＜a≤2时，g（x）在区间[-1，1]上的最小值为1-

a2

4

；
a＞2时，g（x）在区间[-1，1]上的最小值为2-a．

点评：本题主要考查幂函数额定义，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．