Question

如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆0上异于A，B的点，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q，M分别为PA，AC的中点，问：对于线段OM上的任一点G，是否都有QG∥平面PBC？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论．
（2）利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．

解答： （1）证明：因为PA⊥圆所在的平面ABC，BC?平面ABC，所以可得PA⊥BC，
因为C是圆O上的点，AB是圆O的直径，所以由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC．
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC；
（2）对于线段OM上的任一点G，都有QG∥平面PBC．证明如下：
连接QM，QO，则
因为Q，M分别为PA，AC的中点，所以QM∥BC，
因为QM?平面PBC，BC?平面PBC，所以QM∥平面PBC，
因为OM是△ABC的中位线，所以有OM∥BC，
因为OM?平面PBC，BC?平面PBC，所以OM∥平面PBC．
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC．
又QG?平面OQM，所以QG∥平面PBC．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，属于中档题．