Question

8．已知复数z=（2a+i）（1-bi）的实部为2，其中a，b为正实数，则4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 复数z=（2a+i）（1-bi）=2a+b+（1-2ab）i的实部为2，其中a，b为正实数，可得2a+b=2，b=2-2a．代入4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b，利用指数运算性质、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：复数z=（2a+i）（1-bi）=2a+b+（1-2ab）i的实部为2，其中a，b为正实数，
∴2a+b=2，∴b=2-2a．
则4^a+（$\frac{1}{2}$）^1-b=4^a+2^1-2a=${4}^{a}+\frac{2}{{4}^{a}}$≥2$\sqrt{{4}^{a}•\frac{2}{{4}^{a}}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$时取等号．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了复数的运算性质、指数运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．