Question

12．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．已知直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}\right.$（t为参数），圆C的极坐标方程为$ρ=2sin（{\frac{π}{4}-θ}）$
（ I）求圆心C的直角坐标；
（ II）已知P是直线l上的动点，PA、PB是圆C的切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （I）圆C的极坐标方程转化为${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆C的直角坐标方程，由此能求出圆心直角坐标．
（II）直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为$x-y+4\sqrt{2}=0$，圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l距离d=5，由此求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值，切线长最小时，四边形PACB的面积最小．由此能求出四边形PACB面积的最小值．

解答 解：（I）∵圆C的极坐标方程为$ρ=2sin（{\frac{π}{4}-θ}）$
∴$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0$，
即${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$，∴圆心直角坐标为$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
（II）∵直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}\right.$（t为参数），
∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为$x-y+4\sqrt{2}=0$，
圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直线l距离d=
$\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+4\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{2}}}=5$
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是$\sqrt{{5^2}-{1^2}}=2\sqrt{6}$，切线长最小时，四边形PACB的面积最小．
∴四边形PACB面积的最小值是S_min=2×（$\frac{1}{2}×1×2\sqrt{6}$）=$2\sqrt{6}$．

点评 本题考查圆心的直角坐标的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．