Question

9．已知数列{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$．
（1）判断$\frac{98}{101}$是不是数列{a_n}中的一项；
（2）试判断数列{a_n}中的项是否都在区间（0，1）内；
（3）在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内有无数列{a_n}中的项？若有，是第几项？若没有．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由数列的通项公式可得，解$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{98}{101}$可得n的值，判定n的值是否为正整数即可得答案；
（2）根据题意，将数列的通项公式变形为a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，结合n的范围分析a_n的取值范围，即可得答案；
（3）解$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$可得$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，由n为正整数可得n的值，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
若$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{98}{101}$，则有$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{98}{101}$
解可得n=$\frac{100}{3}$，不是正整数，
则$\frac{98}{101}$不是数列{a_n}中的一项；
（2）a_n=$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
又由n≥1，则有0＜a_n＜1，
故数列{a_n}中的项都在区间（0，1）内；
（3）若$\frac{3n-2}{3n+1}$∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$），即$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$
解可得：$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，
又由n为正整数，则n=2，
故在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内有数列{a_n}中的项，为第二项．

点评 本题考查数列的通项公式、数列的函数特性，关键是理解掌握数列的通项公式的定义．