Question

14．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$为非零向量，满足$（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a；（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得cosθ=$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角θ的值．

解答 解：设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，θ∈[0，2π]，∵满足$（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）⊥\overrightarrow a；（{\overrightarrow b-2\overrightarrow a}）⊥\overrightarrow b$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}$=2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow{b}}^{2}$=2•|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cosθ，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．