Question

3．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-∞，0）
• C． （0，2）
• D． （-∞，-2）

Answer 1

分析 由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得f（x）在R上是减函数，化恒成立问题为x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；从而化为最值问题即可．

解答 解：由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3，x≤0}\\{-{x}^{2}-2x+3，x＞0}\end{array}$，知：
①当x≤0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
故f（x）在（-∞，0]上是减函数；
②当x＞0时，f（x）=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
故f（x）在（0，+∞）上是减函数；
又∵（0-2）²-1=-（0+1）²+4，
∴f（x）在R上是减函数，
∴不等式f（x+a）＞f（2a-x）在[a，a+1]上恒成立可化为
x+a＜2a-x在[a，a+1]上恒成立；
即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，
故2（a+1）＜a，
解得，a＜-2；
故选：D．

点评 本题考查了分段函数的性质应用及分段函数的单调性的判断，同时考查了恒成立问题化为最值问题，属于中档题．