Question

6．三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分别为2，m，n，其中m²+n²=12，则该三棱锥体积的最大值为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 设长方体的三度为，a，b，c，所求三棱锥的体积为：abc-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{1}{3}$abc．底面三角形是等腰三角形时，m=n=$\sqrt{6}$时，能求出三棱锥体积的最大值．

解答 解：如图设长方体的三度为，a，b，c，
所求三棱锥的体积为：
abc-4×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}abc$=$\frac{1}{3}$abc．
a²+b²=4，b²+c²=n²，a²+c²=m²，
所以2（a²+b²+c²）
=n²+m²+4=16．
a²+b²+c²=8．
因为8≥$3\root{3}{（abc）^{2}}$，abc≤$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{3}}$=$\frac{16\sqrt{6}}{9}$，
此时a=b=c，与n²+m²=12，a²+b²=4，矛盾；
当底面三角形是等腰三角形时，m=n=$\sqrt{6}$，
三棱锥体积的最大值为：$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用，转化思想与计算能力．