Question

4．已知命题p：“双曲线$\frac{y^2}{3}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率$e∈（{\sqrt{2}，+∞}）$”，命题q：“$\frac{{2{x^2}}}{m}+\frac{y^2}{m-2}=1$是焦点在x轴上的椭圆方程”．若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据椭圆、双曲线的方程及性质，分别求出命题p、q为真时实数m的取值范围，再求交集．

解答 解：若p为真命题，则${e^2}=\frac{3+m}{3}＞2$，即m∈A=（3，+∞）…（4分）
若q为真命题，则有$\frac{m}{2}＞m-2＞0$，即m∈B=（2，4）．…（8分）
因为，命题“p∧q”是真命题
又因为A∩B=（3，4）所以，m∈（3，4）即实数m的取值范围为（3，4）．…（10分）

点评 本题考查了复合命题真假的应用，涉及到了圆锥曲线的性质，属于基础题．