Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，且满足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
（1）求a₁的值．
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=

2an

(an-2)2

，n∈N^*，求证b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=

3

2

a1-3，由此能求出a₁=6．
（2）当n≥2时，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

an+3，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1，从而得到{a_n}是首项为6，公比为3的等比数列，由此能求出an=6×3n-1=2•3ⁿ．
（3）b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

，当n=1时，b₁=

3

4

＜1，当n≥2时，b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)，由此利用裂项求和法能证明b₁+b₂+…+b_n＜1．

解答： （1）解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，
数列{S_n}的前n项和为T_n，
且满足T_n=

3

2

S_n-3n，n∈N^*．
∴当n=1时，a₁=

3

2

a1-3，解得a₁=6．
（2）解：当n≥2时，S_n=T_n-T_n-1=

3

2

an+3，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1，
∴{a_n}是首项为6，公比为3的等比数列，
∴an=6×3n-1=2•3ⁿ．
（3）证明：b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

，
当n=1时，b₁=

3

4

＜1，
当n≥2时，b_n=

2an

(an-2)2

=

4•3n

4(3n-1)2

=

3n

(3n-1)2

＜

3n

(3n-1)(3n-3)

=

3n-1

(3n-1)(3n-1-1)

=

1

2

(

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)，
∴b₁+b₂+…+b_n＜

3

4

+

1

2

(

1

3-1

-

1

9-1

+

1

9-1

-

1

27-1

+…+

1

3n-1-1

-

1

3n-1

)
=

3

4

+

1

2

(

1

2

-

1

3n-1

)
=1-

3

4(3n-1)

＜1，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要注意放缩法和裂项求和法的合理运用．