Question

5．2017年5月13日第30届大连国际马拉松赛举行．某单位的10名跑友报名参加了半程马拉松，10公里健身跑，迷你马拉松3个项目（每人只报一项）．报名情况如下：

项目	半程马拉松	10公里健身跑	迷你马拉松
人数	2	3	5

（其中：半程马拉松21.0975公里，迷你马拉松4.2公里）
（1）从10人中选出2人，求选出的两人赛程距离之差大于10公里的概率；
（2）从10人中选出2人，设X为选出的两人赛程距离之和，求随机变量X的分布列．

Answer 1

分析 （1）利用排列组合、选出的两人赛程距离之差大于10公理的概率p=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$．
（2）由题意知X的可能取值为8.2，14.2，20，25.2975，31.0975，42.195，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．

解答 解：（1）选出的两人赛程距离之差大于10公理的概率p=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$．
（2）由题意知X的可能取值为8.2，14.2，20，25.2975，31.0975，42.195，
P（X=8.2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=14.2）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=25.2975）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{9}$，
P（X=31.0975）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=42.195）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	8.2	14.2	20	25.2975	31.0975	42.195
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{45}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．