Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）
（1）是否存在实数A，B，使得{a_n+A_n+B}为等比数列（其中A，B为常数）；
（2）求数列{na_n+（n+1）²}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先假设实数的存在，进一步利用对应关系求出实数A和B的值．
（2）利用（1）的结论，进一步求出新数列的通项公式，利用分类法和乘公比错位相减法求数列的和．

解答： 解：（1）假设存在存在实数A和B，使得{a_n+An+B}为等比数列（其中A，B为常数）；
则：a_n+1+A（n+1）+B=2（a_n+An+B）
化简得：
a_n+1=2a_n+An+B-A与a_n+1-（n+1）=2（a_n-1）相比较得到：
A=1，B=0
所以：存在实数A=1，B=0，使得{a_n+An+B}为等比数列．
（2）由（1）得：数列{a_n+n}是等比数列
所以：an+n=2•2n-1
整理得：an=2n-n
（2）由（1）得：an=2n-n
所以：nan+(n+1)2=n•2n+2n+1
Sn=1•21+2•22+…+n•2n+2（1+2+…+n）+（1+1+…+1）
设：Tn=1•21+2•22+…+n•2n①
则：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
①-②得：Tn=(n-2)•2n+1+2
所以：Sn=(n-2)•2n+1+2+2(

n2+n

2

)+n
整理得：Sn=(n-2)•2n+1+n2+2n+2

点评：本题考查的知识要点：存在性问题的应用，利用分类法和乘公比错位相减法求数列的和．属于中等题型．