Question

已知函数f（x）=2cosx（

3

sinx-cosx）+1（x∈R）
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

5π

12

]上的最大值和最小值；
（2）若f（x₀）=

10

13

，x₀∈[

π

2

，

7π

12

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）函数f（x）可化简为f（x）=2sin（2x-

π

6

），从而可求最小正周期及在区间[0，

5π

12

]上的最大值和最小值；
（2）先求出sin（2x₀-

π

6

），cos（2x₀-

π

6

）的值，从而cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=-

5+12 3

26

．

解答： 解：（1）由f（x）=2cosx（

3

sinx-cosx）+1（x∈R）得
f（x）=

3

（2sinxcosx）-（2cos²x-1）=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
所以函数f（x）的最小正周期为π
因为f（x）=2sin（2x-

π

6

）在区间[0，

π

3

]上是增函数，在区间[

π

3

，

5π

12

]上为减函数，
又f（0）=-1，f（

π

3

）=2，f（

5π

12

）=

3

，
所以函数f（x）在区间[0，

5π

12

]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）解：由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀-

π

6

）
又因为f（x₀）=

10

13

，所以sin（2x₀-

π

6

）=

5

13

由x₀∈[

π

2

，

7π

12

]，得2x₀-

π

6

∈[

5π

6

，π]
从而cos（2x₀-

π

6

）=-

1-sin2(2x0- π 6 )

=-

12

13

所以cos2x₀=cos[（2x₀-

π

6

）+

π

6

]=cos（2x₀-

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀-

π

6

）sin

π

6

=-

5+12 3

26

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题．