Question

13．在矩形ABCD中，点M在线段BC上，点N在线段CD上，且AB=4，AD=2，MN=$\sqrt{5}$，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值是10．

Answer 1

分析 先以$\overrightarrow{AB}$所在的直线为x轴，以$\overrightarrow{AD}$所在的直线为x轴，建立坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个点的位置得到坐标之间的关系，表示出两个向量的数量积，根据MN=$\sqrt{5}$，再由三角换元，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即要求得数量积的最小值．

解答 解：以$\overrightarrow{AB}$所在的直线为x轴，以$\overrightarrow{AD}$所在的直线为x轴，
建立坐标系如图，
∵AB=4，AD=2，
∴A（0，0），B（4，0），C（4，2），
D（0，2），
设M（4，b），N（c，2），
由MN=$\sqrt{5}$，可得（b-2）²+（c-4）²=5，
又$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=2b+4c，
可令b=2+$\sqrt{5}$cosθ，c=4+$\sqrt{5}$sinθ，
即有2b+4c=20+2$\sqrt{5}$cosθ+4$\sqrt{5}$sinθ
=20+10sin（θ+α），
当sin（θ+α）=-1时，取得最小值，且为10，
故答案为：10．

点评 本题考查向量的数量积的坐标运算，考查数形结合的思想方法，以及三角换元和正弦函数的值域的运用，属于中档题．