题目内容
1．（重点中学做）已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+1，（x＜1）}\\{lnx，（x≥1）}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．分析 作出函数f（x）的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．
解答 
解：作出函数f（x）的图象如图：
若a≤0时，方程f（x）=ax不可能有三个不相等的实数根，
则必有a＞0，
当直线y=ax与y=lnx在x＞1时相切时，
设切点坐标为（x0，y0），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$，即f′（x0）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
则切线方程为y-y0=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x0），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+y0-1=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x+lnx0-1，
∵切线方程为y=ax，
∴a=$\frac{1}{{x}_{0}}$且lnx0-1=0，则x0=e，
则a=$\frac{1}{e}$，
要使方程f（x）=ax有且仅有三个不相等的实数根，
则0＜a＜$\frac{1}{e}$，
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）
点评 本题主要考查函数与方程的应用，求 函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率，利用数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
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