Question

4．求证：（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{4}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{4}}$）＜e．

Answer 1

分析 设f（x）=ln（1+x²）-x，运用导数判断单调性，可得ln（1+x²）＜x，利用放缩法即可证明不等式．

解答 证明：设f（x）=ln（1+x²）-x，
则f′（x）=$\frac{2x}{1+{x}^{2}}$-1=$\frac{-（x-1）^{2}}{1+{x}^{2}}$≤0，
可得函数f（x）在R上单调递减．
当x＞0时，f（x）＜f（0），
所以ln（1+x²）-x＜0，即ln（1+x²）＜x．
所以ln（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{4}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{4}}$）
=ln（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）+ln（1+$\frac{1}{{3}^{4}}$）+…+ln（1+$\frac{1}{{n}^{4}}$）
＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1，
所以（1+$\frac{1}{{2}^{4}}$）（1+$\frac{1}{{3}^{4}}$）…（1+$\frac{1}{{n}^{4}}$）＜e．

点评 本题考查了不等式的证明，考查利用导数研究函数的单调性问题，以及利用函数的单调性证明不等式，在证明不等式的过程中使用了放缩法证明不等式，综合性较强，难度较大．