Question

3．单位向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$对于任意实数λ都有|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，则向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为120°．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ，两边平方，结合向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，运用二次不等式恒成立的思想方法，由判别式小于等于0，即可得到所求夹角．

解答 解：设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角为θ，
由|$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$|≤|$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$|，
两边平方可得，（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²≤（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-λ$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²，
即为$\overrightarrow{{e}_{1}}$²+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$²≤$\overrightarrow{{e}_{1}}$²-2λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+λ²$\overrightarrow{{e}_{2}}$²，
即有1+cosθ+$\frac{1}{4}$≤1-2λcosθ+λ²，
即为λ²-2λcosθ-cosθ-$\frac{1}{4}$≥0恒成立，
则判别式△≤0，即4cos²θ+4（cosθ+$\frac{1}{4}$）≤0，
即为（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≤0，但（cosθ+$\frac{1}{2}$）²≥0，
则有cosθ+$\frac{1}{2}$=0，解得夹角θ=120°．
故答案为：120°．

点评 本题考查向量的数量积的定义和夹角的求法，考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，运用平方法，结合二次不等式恒成立思想是解题的关键．