Question

2．函数$f（x）=\frac{{{2^x}+{2^{-x}}}}{2}$是（　　）

• A． 奇函数，在（0，+∞）是增函数
• B． 奇函数，在（0，+∞）是减函数
• C． 偶函数，在（0，+∞）是增函数
• D． 偶函数，在（0，+∞）是减函数

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．

解答 解：f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{2}$=f（x），
则函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$（2${\;}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{1}{2}$[（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$]=$\frac{1}{2}$[（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）•（1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$）=$\frac{1}{2}$•（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）•$\frac{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，
∴2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$＜0，2${\;}^{{x}_{1}}$•2${\;}^{{x}_{2}}$＞1，即2${\;}^{{x}_{1}}$•2${\;}^{{x}_{2}}$-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
故选：C

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．