Question

6．如图，某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积是8m²
（1）求x，y的关系式，并求x的取值范围；
（2）问x，y分别为多少时用料最省？

Answer 1

分析 （1）由题意可得：xy+$\frac{1}{2}•$$（\frac{x}{\sqrt{2}}）^{2}$=8．化为：y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$，令y＞0，解出即可得出x的取值范围．
（2）用料总长度f（x）=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$，（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：xy+$\frac{1}{2}•$$（\frac{x}{\sqrt{2}}）^{2}$=8．
化为：y=$\frac{32-{x}^{2}}{4x}$（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．
（2）用料总长度f（x）=2y+2x+$\sqrt{2}$x=$2×\frac{32-{x}^{2}}{4x}$+2x+$\sqrt{2}$x=$\frac{3}{2}x$+$\sqrt{2}$x+$\frac{16}{x}$，（0＜x＜4$\sqrt{2}$）．
f′（x）=$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-$\frac{16}{{x}^{2}}$=$\frac{（3+2\sqrt{2}）{x}^{2}-32}{2{x}^{2}}$=$\frac{（x+8-4\sqrt{2}）[x-（8-4\sqrt{2}）]}{2{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=8-4$\sqrt{2}$，此时函数f（x）取得极小值即最小值．可得y=2$\sqrt{2}$．
∴x，y分别为8-4$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$时用料最省．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程思想方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．