Question

3．已知函数f（x）定义域为[-1，1]，若对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．
（1）证明：f（x）为奇函数；
（2）证明：f（x）在[-1，1]上单调递增；
（3）设f（1）=1，若f（x）＜m-2am+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意令x=y=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）．令x=-y∈[-1，1]，可得f（0）=f（x）+f（-x），即可证明f（x）为奇函数．
（2）令-1≤x₁≤x₂≤1，则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，即可证明单调性．
（3）f（x）在[-1，1]上单调递增，kd f（x）≤f（1）=1，根据f（x）＜m-2am+2，对所有x∈[-1，1]，
a∈[-1，1]恒成立，可得1＜m-2am+2，即g（a）=-2ma+m+1＞0，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，看作关于a的一次函数，利用单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵对于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0．
令x=-y∈[-1，1]，可得f（0）=f（x）+f（-x），解得f（-x）=-f（x）．
因此f（x）为奇函数．
（2）证明：令-1≤x₁＜x₂≤1，则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（3）解：f（x）在[-1，1]上单调递增，∴f（x）≤f（1）=1，
∵f（x）＜m-2am+2，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴1＜m-2am+2，即g（a）=-2ma+m+1＞0，对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
看作关于a的一次函数，则$\left\{\begin{array}{l}{2m+m+1＞0}\\{-2m+m+1＞0}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{3}＜m＜1$．
∴实数m的取值范围是$（-\frac{1}{3}，1）$．

点评 本题考查了抽象函数的求值单调性奇偶性、解不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．