Question

4．某产品的广告支出x（单位：万元）与销售收入y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：

广告支出x（单位：万元）	1	2	3	4
销售收入y（单位：万元）	12	28	42	56

（Ⅰ）求出y对x的线性回归方程；
（Ⅱ）若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
（线性回归方程系数公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （I）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，得到这组数据符合线性相关，求出利用最小二乘法所需要的数据，做出线性回归方程的系数，得到方程．
（Ⅱ）把x=9代入线性回归方程，估计出当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．

解答 解：（Ⅰ）列出下列表格，

xi	1	2	3	4
yi	12	28	42	56
${{x}_{i}}^{2}$	1	4	9	16
xiyi	12	56	126	224
$\sum_{i=1}^{4}$xiyi=418，$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=30，$\overline{x}$=$\frac{5}{2}$，$\overline{y}$=$\frac{69}{2}$

…（4分）
代入公式得：b=$\frac{418-4×\frac{5}{2}×\frac{69}{2}}{30-4{×（\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{73}{5}$，…（5分）
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=$\frac{69}{2}$-$\frac{73}{5}$×$\frac{5}{2}$=-2．…（6分）
故y与x的线性回归方程为y=$\frac{73}{5}$x-2．…（7分）
（Ⅱ）当x=9万元时，y=$\frac{73}{5}$×9-2=129.4（万元）．…（9分）
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．…（10分）．

点评 本题考查线性回归方程的写法和应用，解题的关键是正确求出线性回归方程的系数，本题是一个中档题．