Question

5．下列函数中，最小值为2的函数是（　　）

• A． y=x+$\frac{1}{x}$
• B． y=sinθ+$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
• C． y=sinθ+$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜π）
• D． $\frac{1}{{\sqrt{{x^2}+2}}}+\sqrt{{x^2}+2}$

Answer 1

分析 A．x＜0时，y＜0．
B.0＜θ＜$\frac{π}{2}$，可得1＞sinθ＞0，利用基本不等式的性质即可判断出结论．
C.0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0利用基本不等式的性质即可判断出结论．
D．利用基本不等式的性质即可判断出结论．．

解答 解：A．x＜0时，y＜0．
B．∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，可得1＞sinθ＞0，∴y=sinθ+$\frac{1}{sinθ}$$＞2\sqrt{sinθ•\frac{1}{sinθ}}$=2，最小值不可能为2．
C..∵0＜θ＜π，可得1≥sinθ＞0，∴y=sinθ+$\frac{1}{sinθ}$≥$2\sqrt{sinθ•\frac{1}{sinθ}}$=2，当且仅当sinθ=1时取等号，最小值为2．
D.$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+2}$＞$2\sqrt{\sqrt{{x}^{2}+2}•\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}}$=2，最小值不可能为2．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．