Question

11．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．
（1）求证：DE∥平面PBC；
（2）求证：AB⊥PE；
（3）求三棱锥P-BEC的体积．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理即可得出DE∥BC，故而DE∥平面PBC；
（2）连结PD，又AB⊥PD，AB⊥DE得出AB⊥平面PAB，故而AB⊥PE；
（3）利用面面垂直的性质得出PD⊥平面ABC，计算PD，则V_P-BCE=$\frac{1}{2}$V_P-ABC．

解答 证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
又DE?平面PBC，BC?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）连接PD，
∵DE∥BC，又∠ABC=90°，
∴DE⊥AB，
又PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB，
又PD∩DE=D，PD?平面PDE，DE?平面PDE，
∴AB⊥平面PDE，又PE?平面PDE，
∴AB⊥PE．
（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD?平面PAB，
∴PD⊥平面ABC，
∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中点，
∴${V_{P-BEC}}=\frac{1}{2}{V_{P-ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．