题目内容
已知坐标原点为O，A、B为抛物线y2=4x上异于O的两点，且
•
=0，则|
|的最小值为（ ）
| OA |
| OB |
| AB |
| A、4 | B、8 | C、16 | D、64 |
考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算
专题：向量与圆锥曲线
分析：分AB所在的直线与x轴垂直和不垂直讨论，垂直时直接求出|
|，不垂直时设出直线AB的方程，和抛物线联立后利用
•
=0把直线的截距用斜率表示，再由弦长公式把|
|用含有直线的斜率表示，利用二次函数分析最小值后得答案．
| AB |
| OA |
| OB |
| AB |
解答：
解：不妨设A在第一象限，
当AB的连线垂直于x轴时，由
•
=0可得OA所在直线的斜率为1，则直线OA的方程为y=x，
联立
，得A（4，4），
∴B（4，-4），此时|
|=8；
当AB的连线斜率存在且不等于0时，设AB方程为y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
，得k2x2+（2kb-4）x+b2=0．
x1+x2=
，x1x2=
．
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=k2•
+kb•
+b2=2b2+
．
由
•
=0，得x1x2+y1y2=
+2b2+
=
=0．
∴b=-4k．
∴|
|=
•
=
•
=
•
=4
=4
．
∵
＞0，
∴4
＞4
=8．
∴|
|的最小值为8．
故选：B．
当AB的连线垂直于x轴时，由
| OA |
| OB |
联立
|
∴B（4，-4），此时|
| AB |
当AB的连线斜率存在且不等于0时，设AB方程为y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
|
x1+x2=
| 4-2kb |
| k2 |
| b2 |
| k2 |
y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2
=k2•
| b2 |
| k2 |
| 4-2kb |
| k2 |
| 4b-2kb2 |
| k |
由
| OA |
| OB |
| b2 |
| k2 |
| 4b-2kb2 |
| k |
| b2+2k2b2+4kb-2k2b2 |
| k2 |
∴b=-4k．
∴|
| AB |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 1+k2 |
|
=
| 1+k2 |
|
|
(
|
∵
| 1 |
| k2 |
∴4
(
|
| 4 |
∴|
| AB |
故选：B．
点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．考查了学生的计算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
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