Question

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若|x|≤2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，则b²+c²的取值范围为（　　）

• A、[32，74]
• B、[24，32]
• C、[36，74]
• D、[24，36]

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由|x|≤2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，可知f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，从而得到b≥-5且c=-3b-8，把c代入原函数解析式，根据方程f（x）=0有无实根得到b的范围，然后把b²+c²化为关于b的二次函数利用配方法求最值．

解答： 解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而-

b

2

≤

5

2

，即b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

，即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，
消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
∴b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

．
∴b²+c²在[-5，-4]上的最小值为10(-4+

12

5

)2+

32

5

=32．
最大值为10(-5+

12

5

)2+

32

5

=74．
故选：A．

点评：本题考查了二次函数的单调性和最值，考查了二次函数根的分布，着重考查了数学转化思想方法，考查了学生灵活分析问题和解决问题的能力，属中高档题．