Question

已知函数y=f（x）的定义域和值域都是[-1，1]（其图象如图所示），函数g（x）=sinx，x∈[-π，π]．定义：当f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=x₁（x₂∈[-π，π]）时，称x₂是方程f（g（x））=0的一个实数根．则方程f（g（x））=0的所有不同实数根的个数是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：通过图象可知方程f（x）=0数有4个非零实数解，分别为-1，-

1

2

，

1

2

，1，分别令g（x）=sinx=-1，-

1

2

，

1

2

，1，求得对应的x值，从而得出正确结论．

解答： 解：当f（x₁）=0（x₁∈[-1，1]）且g（x₂）=0，即f[g（x）]=0
通过图象可知方程f（x）=0有4个非零实数解，分别为-1，-

1

2

，

1

2

，1，
∵函数g（x）=sinx，x∈[-π，π]，∴g（x）∈[-1，1]．
当g（x）=sinx=-1时，x=-

3π

2

；当g（x）=sinx=-

1

2

时，x=-

π

6

，或 x=-

5π

6

；
当g（x）=sinx=

1

2

时，x=

π

6

，或x=

5π

6

；当g（x）=sinx=1时，x=

π

2

；
因此，方程f（g（x））=0的所有不同实数根的个数是6个，
故答案为：6．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力，属于中档题．