Question

7．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，已知a₅=9，S₇=49．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•2ⁿ，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由S₇=49结合等差数列的性质求得a₄=7，再求等差数列的公差和通项式；
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，用错位相减法求数列{b_n}的前n项和为T_n

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中，由S₇=7（a₁+a₇）=49，得：a₄=7，又∵a₅=9，∴公差d=2，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1 （n∈N⁺），
（2）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ，
令数列{b_n}的前n项和为T_n，
T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）•2^n…①
2 T_n=1×2²+3×2³++…+（2n-5）×2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2^n+1…②
-T_n=2+2（2²+2³++…+2^n-1+•2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2ⁿ⁺²-8-+（2n-1）•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了等差数列的通项，及错位相减法求和，属于基础题．