Question

2．在△ABC中，已知当A=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA时，△ABC的面积为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由已知求出$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$，然后代入三角形面积公式得答案．

解答 解：由A=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA，得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=tanA=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|•sinA$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理求面积，是中档题．