Question

12．正整数数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-n，{a}_{n}＞n}\\{{a}_{n}+n，{a}_{n}≤n}\end{array}\right.$，将数列{a_n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n_k}，则n_k+1=3n_k+1（k=1，2，3，…）．（用n_k表示）

Answer 1

分析 由已知条件可求出a₂、a₃、a₄、…，a₁₂、a₁₃、…，的值，得到n₁、n₂、n₃、…，归纳数列{n_k}中每一项的值与序号的关系，从而可得到n_k+1与n_k之间的关系式．

解答 解：将n=1代入a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-n，{a}_{n}＞n}\\{{a}_{n}+n，{a}_{n}≤n}\end{array}\right.$得，a₂=a₁+1=2；
令n=2，代入得：a₃=a₂+2=4；
同理可得，a₄=1，a₅=5，a₆=10，a₇=4，a₈=11，a₉=3，a₁₀=12，a₁₁=2，a₁₂=13，a₁₃=1，…，
∴n₁=1，n₂=4，n₃=13，…，
n₂=3n₁+1，n₃=3n₂+1，…，
由归纳法知，n_k+1=3n_k+1（k=1，2，3，…）．
故答案为：3n_k+1（k=1，2，3，…）．

点评 本题考查数列递推式的应用，求出a₂、a₃、a₄、…，a₁₂、a₁₃、…，的值，得到n₁、n₂、n₃的值是关键，考查运算与推理能力，属于难题．