Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=1，b₁=2，a₂+b₃=10，a₃+b₂=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，记cn=

Sn

3

•an，n∈N^*．求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组，能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由题意推导出Sn=2n+1-2，由此利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）由题意，

a1+d+b1•q2=10 a1+2d+b1•q=7

，
代入得

1+d+2•q2=10 1+2d+2•q=7

，
消d得2q²-q-6=0，…（4分）
（2q+3）（q-2）=0，
∵{b_n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，
进而d=1，
∴an=n，   bn=2n…（7分）
（Ⅱ）Sn=2n+1-2，…（9分）
cn=an•

Sn

2

=n•(2n-1)=n•2n-n，…（10分）
设Wn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
2w_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
二者相减，得Wn=(n-1)•2n+1+2，…（12分）
∴Tn=Wn-

(1+n)n

2

=(n-1)•2n+1-

n2+n

2

+2…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．