题目内容
若数列{an]满足an2-an-12=p（p为常数，n≥2，n∈N*），则称数列{an}为等方数列，p为公方差，已知正数等方数列{an}的首项a1=1且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，设集合A={Tn|Tn=
+
+…+
，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“梦幻子集”，那么集合A中的“梦幻子集”的个数为 ．
| 1 |
| a1+a2 |
| 1 |
| a2+a3 |
| 1 |
| an+an+1 |
考点：等比数列的性质
专题：计算题,新定义,等差数列与等比数列
分析：根据正数等方差数列{an}的首项a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，确定数列的通项，利用裂项法求和，可得A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，即可求得结论．
解答：
解：设数列{an}为正数等方差数列，p为公方差，
则a22-a12=p，a32-a22=p，a42-a32=p，a52-a42=p则a52-a12=4p，
∵a1=1，∴a2=
，a5=
，
∵a1，a2，a5成等比数列，
∴1+p=
，
∴p=0或p=2
∵a1≠a2，∴p=2，
∴an=
=
，
∴
=
=
（
-
）
∴Tn=
+
+…+
=
（
-1+
-
+…+
-
）
=
（
-1）．
∴A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，
∵A的非空子集B，若B的元素都是整数，
∴集合A中的“梦幻子集”的个数为26-1=63，
故答案为：63．
则a22-a12=p，a32-a22=p，a42-a32=p，a52-a42=p则a52-a12=4p，
∵a1=1，∴a2=
| 1+p |
| 1+4p |
∵a1，a2，a5成等比数列，
∴1+p=
| 1+4p |
∴p=0或p=2
∵a1≠a2，∴p=2，
∴an=
| 1+2(n-1) |
| 2n-1 |
∴
| 1 |
| an+an+1 |
| 1 | ||||
|
| 1 |
| 2 |
| 2n+1 |
| 2n-1 |
∴Tn=
| 1 |
| a1+a2 |
| 1 |
| a2+a3 |
| 1 |
| an+an+1 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 2n+1 |
| 2n-1 |
=
| 1 |
| 2 |
| 2n+1 |
∴A中的整数元素为1，2，3，4，5，6，
∵A的非空子集B，若B的元素都是整数，
∴集合A中的“梦幻子集”的个数为26-1=63，
故答案为：63．
点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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