Question

10．设a=${∫}_{1}^{e}$$\frac{2}{x}$dx，则二项式${（{a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^6}$的展开式的常数项是-160．

Answer 1

分析 求定积分求得a的值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，代入通项求得常数项．

解答 解：设a=${∫}_{1}^{e}$$\frac{2}{x}$dx=2lnx|${\;}_{1}^{e}$=2lne=2，
∴（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的通项公式为2^6-r（-1）^rC₆^rx^3-r，
令3-r=0，即r=3，
∴（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的常数项是2³（-1）³C₆³=-160，
故答案为：-160

点评 本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题．