Question

20．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4），现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，
（1）求X的分布列，均值和方差；
（2）若Y=aX+b，E（Y）=1，D（Y）=11，试求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由题设知X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，
计算数学期望E（X）和方差D（X）；
（2）根据方差与均值的计算公式，列出方程组求得a、b的值．

解答 解：（1）由题设知X=0，1，2，3，4，
计算P（X=0）=$\frac{10}{20}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=1）=$\frac{1}{20}$，
P（X=2）=$\frac{2}{20}$=$\frac{1}{10}$，
P（X=3）=$\frac{3}{20}$，
P（X=4）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，
∴X的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$

E（X）=0×$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{20}$+2×$\frac{1}{10}$+3×$\frac{3}{20}$+4×$\frac{1}{5}$=1.5；
D（X）=（0-1.5）²×$\frac{1}{2}$+（1-1.5）²×$\frac{1}{20}$+（2-1.5）²×$\frac{1}{10}$+（3-1.5）²×$\frac{3}{20}$+（4-1.5）²×$\frac{1}{5}$=2.75；
（2）由D（Y）=a²D（X），得a²×2.75=11，即a=±2，
又E（Y）=aE（X）+b，
∴当a=2时，由1=2×1.5+b，解得b=-2；
当a=-2时，由1=-2×1.5+b，解得b=4；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=4}\end{array}\right.$为所求．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望和方差的应用问题，是中档题．