Question

15．（1）设a，b∈R₊，a+b=1，求证$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥4．
（2）已知x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）由柯西不等式，即可证明结论；
（2）由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3³），可得求x²+y²+z²的最小值．

解答 （1）证明：由柯西不等式，可得$（{a+b}）（{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}）≥{（{\sqrt{a}×\frac{1}{{\sqrt{a}}}+\sqrt{b}×\frac{1}{{\sqrt{b}}}}）^2}=4$．$又\;a+b=1，所以\;\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥4$．
（2）解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3³），
∴${x^2}+{y^2}+{z^2}≥\frac{1}{14}$
当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$时取等号．
即x²+y²+z²的最小值为$\frac{1}{14}$．

点评 正确理解柯西不等式是解题的关键．