Question

10．已知点A（0，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=-x+2；②$y=\sqrt{1-{x^2}}$；③y=x+1．其中，“点距函数”的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：对于①，过A作直线y=-x+2的垂线y=x，
交直线y=-x+2于D（1，1）点，
D（1，1）在y=-x+2的图象上，
故y=-x+2的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于②，y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示以（0，0）为圆心以1为半径的半圆，
图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于③，过A作直线y=x+1的垂线y=-x，
交直线y=x+1于E（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）点，
E（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）在y=x+1的图象上，
故y=x+1的图象上存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
综上所述，其中“点距函数”的个数是3个，
故选：D

点评 本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．