Question

6．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，2sin$\frac{7π}{6}$sin（$\frac{π}{6}$+C）+cosC=-$\frac{1}{2}$．
（1）求C；
（2）若c=$\sqrt{13}$，且△ABC面积为3$\sqrt{3}$，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差的正弦公式，即可求C；
（2）若c=$\sqrt{13}$，且△ABC面积为3$\sqrt{3}$，求出a，b，三角形外接圆的直径，即可求sinA+sinB的值．

解答 解：（1）∵2sin$\frac{7π}{6}$sin（$\frac{π}{6}$+C）+cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴-sin（$\frac{π}{6}$+C）+cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC+cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC-$\frac{1}{2}$cosC=$\frac{1}{2}$，
∴sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=$\sqrt{13}$，且△ABC面积为3$\sqrt{3}$，
∴13=a²+b²-ab，$\frac{1}{2}ab•\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴a=3，b=4或a=4，b=3，
∵2R=$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$，
∴sinA+sinB=7×$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}$=$\frac{7\sqrt{39}}{26}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查和差的正弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．