Question

设O是△ABC的三边中垂线的交点，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知b²-2b+c²=0，则

BC

•

AO

的范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、[0，2）
• C、[-

  1

  4

  ，+∞）
• D、[-

  1

  4

  ，2）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据已知条件知O是△ABC外接圆的圆心，可画出△ABC及其外接圆，连接AO并延长，交外接圆于D．所以便得到cos∠BAD=

|AB|

|AD|

，cos∠CAD=

|AC|

|AD|

，所以

BC

•

AO

=

1

2

(

AC

-

AB

)•

AD

=b²-b=(b-

1

2

)2-

1

4

，而根据c²=2b-b²可求得b的范围0＜b＜2，所以求出二次函数(b-

1

2

)2-

1

4

在（0，2）上的范围即可．

解答： 解：O是△ABC的三边中垂线的交点，故O是三角形外接圆的圆心，如图所示，连接AO并延长交外接圆于D，AD是⊙O的直径，并连接BD，CD；
则∠ABD=∠ACD=90°，cos∠BAD=

|AB|

|AD|

，cos∠CAD=

|AC|

|AD|

；
∴

BC

•

AO

=(

AC

-

AB

)•(

1

2

AD

)=

1

2

|

AC

||

AD

|cos∠CAD-

1

2

|

AB

||

AD

|cos∠BAD=

1

2

(b2-c2)
=

1

2

(b2-2b+b2)=(b-

1

2

)2-

1

4

；
∵c²=2b-b²＞0；
∴0＜b＜2；
设f（b）=(b-

1

2

)2-

1

4

；
∴b=

1

2

时，f（b）取最小值-

1

4

，又f（2）=2；
∴-

1

4

≤f(b)＜2；
∴

BC

•

AO

的范围是[-

1

4

，2）．
故选：D．

点评：考查三角形垂心的概念，圆的直径所对的圆周角为90°，用直角三角形的边表示余弦值，以及二次函数值域的求法．