Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+2，且a₁，a₂-1，a₃-1成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，求证：

1

3

≤T_n＜

1

2

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式结合等比数列的性质，求出等差数列的首项和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和法能证明

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵S₃=a₄+2，∴3a1+

3×2×d

2

=a1+3d+2．①…（3分）
又∵a₁，a₂-1，a₃-1成等比数列，
∴a1(a1+2d-1)=(a1+d-1)2．②…（5分）
由①②解得a₁=1，d=2．…（6分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（8分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．…（10分）
∴当n=1时，T1=

1

2

(1-

1

2×1+1

)=

1

3

，
当n＞1时，Tn＜

1

2

，
∴

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．