Question

如图两个等边△ABC，△ACD所在的平面互相垂直，EB⊥平面ABC，且AC=2，BE=

3

．
（Ⅰ）求三棱锥A-BCE的体积；
（Ⅱ）求证：DE∥平面ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用三棱锥A-BCE的体积：V_A-BCE=V_E-ABC，即可求三棱锥A-BCE的体积；
（Ⅱ）证明四边形BODE为平行四边形，可得DE∥BO，即可证明DE∥平面ABC．

解答： （Ⅰ）解：∵△ABC为等边三角形，且AC=2，
∴S△ABC=

3

．…（1分）
∵EB⊥平面ABC，BE=

3

…（2分）
∴三棱锥A-BCE的体积：V_A-BCE=V_E-ABC…（3分）=

1

3

•S△ABC•BE=1…（4分）
（II）证明：取AC的中点O，连结DO、BO，…（5分）
∵△ACD为等边三角形，且AC=2，
∴DO⊥AC，DO=

3

，…（6分）
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，
∴DO⊥平面ABC，…（7分）
∵EB⊥平面ABC，BE=

3

∴BE∥DO，DO=BE，…（8分）
∴四边形BODE为平行四边形，…（9分）
∴DE∥BO，…（10分）
又DE?平面ABC，BO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（12分）

点评：本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力．