Question

若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象和直线y=x无交点，现有下列结论：
①方程f[f（x）]=x一定没有实数根；
②若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
③若a＜0，则必存在实数x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
④函数g（x）=ax²-bx+c（a≠0）的图象与直线y=-x一定没有交点，
其中正确的结论是

 

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．进而逐一由此判断①～⑤的真假即可得到答案．

解答： 解：∵函数f（x）的图象与直线y=x没有交点，所以f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立．
因为f[f（x）]＞f（x）＞x或f[f（x）]＜f（x）＜x恒成立，所以f[f（x）]=x没有实数根；
故①正确；
若a＞0，由题意知，二次函数的图象必在直线y=x的图象上方，则不等式f[f（x）]＞f（x）＞x对一切实数x都成立；
故②正确；
若a＜0，由题意知，二次函数的图象必在直线y=x的图象下方，则不等式f[f（x）]＜x对一切实数x都成立，所以不存在x₀，使f[f（x₀）]＞x₀；
故③错误；
函数g（x）=f（-x），与f（x）的图象关于y轴对称，所以g（x）和直线y=-x也一定没有交点．
故④正确；
故正确的结论有：①②④
故答案为：①②④

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知得到f（x）＞x（a＞0）或f（x）＜x（a＜0）恒成立是解答本题的关键．