Question

在平面直角坐标系中，已知点F（

2

，

2

）及直线l：x+y-

2

=0，曲线C₁是满足下列两个条件的动点P（x，y）的轨迹：①|PF|=

2

d其中d是P到直线l的距离；②

x＞0 y＞0 2x+2y＜5

（1）求曲线C₁的方程；
（2）若存在直线m与曲线C₁、椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）均相切于同一点，求椭圆C₂离心率e的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出|PF|，d，根据：①|PF|=

2

d其中d是P到直线l的距离；②

x＞0 y＞0 2x+2y＜5

，即可求曲线C₁的方程；
（2）直线m与曲线C₁相切，设切点为M（t，

1

t

），

1

2

＜t＜2，利用导数求出直线m的方程，代入椭圆C₂的方程，利用△=0，可得a²+b²t⁴=4t²，结合

t2

a2

+

1

b2t2

=1，即可求出椭圆C₂离心率e的取值范围．

解答： 解：（1）|PF|=

(x- 2 )2+(y- 2 )2

=

x2+y2-2 2 (x+y)+4

，d=

|x+y- 2 |

2

，…（2分）
由①|PF|=

2

d得：

x2+y2-2 2 (x+y)+4

=

2

•

|x+y- 2 |

2

，
即xy=1            …（4分）
将xy=1代入②得：x＞0，

1

x

＞0，x+

1

x

＜

5

2

，
解得：

1

2

＜x＜2
∴曲线C₁的方程为：y=

1

x

（

1

2

＜x＜2）          …（6分）
（2）由题意，直线m与曲线C₁相切，设切点为M（t，

1

t

），

1

2

＜t＜2
∵y=

1

x

，∴y′=-

1

x2

，
∴x=t时，y′=-

1

t2

，
∴直线m的方程为y-

1

t

=-

1

t2

（x-t），
即y=-

1

t2

x+

2

t

        …（7分）
将y=-

1

t2

x+

2

t

代入椭圆C₂的方程b²x²+a²y²=a²b²，并整理得：（b²t⁴+a²）x²-4a²tx+a²（4-b²t²）t²=0
由题意，直线m与椭圆C₂相切于点M（t，

1

t

），则△=16a⁴t²-4a²（b²t⁴+a²）（4-b²t²）t²=0，
即a²+b²t⁴=4t²       …（9分）
又

t2

a2

+

1

b2t2

=1，即a²+b²t⁴=a²b²t²，
联解得：b²=

2

t2

，a²=2t²    …（10分）
由

1

2

＜t＜2及a²＞b²得1＜t＜2，
故e²=

a2-b2

a2

=1-

1

t4

，…（12分）
得0＜e²＜

15

16

，
又0＜e＜1，故0＜e＜

15

4

，
∴椭圆C₂离心率e的取值范围是（0，

15

4

）     …（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的切线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．