Question

下列说法：
（1）命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
（2）关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，则a的取值范围是a＜3；
（3）对于函数f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，则有当a=1时，?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
（4）

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx；
（5）已知m，n，s，t∈R+，m+2n=5，

m

s

+

n

t

=9，n＞m，且m，n是常数，又s+2t的最小值是1，则m+3n=7．
其中正确的个数是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,命题的否定,定积分

专题：计算题,简易逻辑

分析：利用特称命题的真假判断（1）的正误；通过函数的最值求出a的范围判断（2）的正误；利用函数的零点集合函数的图象判断（3）的正误；利用定积分求出结果判断（4）的正误；根据s+2t的最小值是 1，根据均值不等式求得的最下值，进而求得此时的m+3n的值即可判断正误；

解答： 解：对于（1），命题“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；满足命题的否定形式，∴（1）正确；
对于（2），关于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，可得a小于sin2x+

2

sin2x

的最小值，sin2x+

1

sin2x

+

1

sin2x

≥2

sin2x• 1 sin2x

+

1

sin2x

=2+

1

sin2x

≥3，当且仅当sin²x=1时取得最大值，∴（2）正确；
对于（3），∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函数g（x）的一个零点；
当x＞0时，若?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点，则方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化为kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程无解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（0，+∞）上有零点；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在区间（-∞，0）上有零点，故（3）不正确；
对于（4），

∫

1 0

1-x2

dx，由定积分的几何意义可得：

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

；

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，
∴

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx，正确；
对于（5），∵(s+2t)(

m

s

+

n

t

)=m+2n+

2tm

s

+

sn

t

≥m+2n+2

2tm s • sn t

=m+2n+2

2mn

，（2t²m=s²n时取等号）∴m+2n+2

2mn

=9，
∴mn=2，得m=1，n=2得点m+3n=7．∴（5）正确；
正确命题的个数是4个．
故答案为：4．

点评：本题考查命题的真假的判断，定积分以及函数的零点、基本不等式、命题的否定，库存基本知识的应用．