Question

已知函数f（x）=

3

sinx+cosx+1，其中x∈[0，

2π

3

]，求：
（1）函数f（x）的最值并求出相应的x的取值；
（2）函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+

π

6

）+1由x∈[0，

2π

3

]，可得x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，可求当x=

π

6

时，f（x）_min=2；x=

π

3

时，f（x）_max=3；
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinx+cosx+1=2sin（x+

π

6

）+1
∵x∈[0，

2π

3

]，
∴x+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1
∴当x=

π

6

时，f（x）_min=2sin（0+

π

6

）+1=2
当x=

π

3

时，f（x）_max=2sin（

π

3

+

π

6

）+1=3
（2）由2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，k∈Z
 所以函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]，k∈Z

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．