Question

阅读下列材料：关于x的方程

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．
（1）请观察上述方程与解的特征，关于x的方程

m

x

+

x

m

=2与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解：的概念进行论证；
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a倍与这个未知数的

1

a

的和等于2，那么这个方程的解是x=a，请用这个结论解关于x的方程：x²+

1

x2-a

=2+a（a≥-1）．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：（1）由已知中阅读材料：关于x的方程

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．归纳可得方程

m

x

+

x

m

=2的解是x=m，利用方程解的概念，代入可证明结论；
（2）由（1）中结论方程

m

x

+

x

m

=2可化为：方程

m

x

=1，则方程：x²+

1

x2-a

=2+a（a≥-1），可化为x²-a+

1

x2-a

=2，即x²-a=1，进而可得答案．

解答： 解：（1）由已知中，

1

x

+

x

1

=2的解是x=1，

2

x

+

x

2

=2的解是x=2，

3

x

+

x

3

的解是x=3，
-

2

x

-

x

2

=2的解是x=-2．
…
归纳可得方程

m

x

+

x

m

=2的解是x=m，
将x=m代入得：
左边=

m

m

+

m

m

=1+1=2，
故m是方程

m

x

+

x

m

=2的解，
（2）x²+

1

x2-a

=2+a可化为：x²-a+

1

x2-a

=2，
由（1）中结论可得x²-a=1，
即x²=a+1，
∴x=±

a+1

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．