题目内容
已知函数f（x）=2k2x+k，x∈[0，1]，函数g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5，x∈[-1，0]．当k=6时，对任意x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立．若k=2呢？
考点：函数恒成立问题
专题：函数的性质及应用
分析：把k=6分别代入两个函数解析式，求出f（x）在[0，1]上的值域，g（x）在[-1，0]上的值域，由f（x）在[0，1]上的值域是g（x）在[-1，0]上的值域的子集说明对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立．同样的办法说明k=2时，对任意x1∈[0，1]，不存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立．
解答：
解：当k=6时，f（x）=72x+6，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[6，78]，
g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5=3x2-86x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，94]，
∵[6，78]⊆[5，94]，
∴对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立；
当k=2时，f（x）=8x+2，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[2，10]，
g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5=3x2-14x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，22]，
∵[6，78]?[5，94]，
∴对任意x1∈[0，1]，不一定存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立．
当x∈[0，1]时，f（x）∈[6，78]，
g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5=3x2-86x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，94]，
∵[6，78]⊆[5，94]，
∴对任意x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立；
当k=2时，f（x）=8x+2，
当x∈[0，1]时，f（x）∈[2，10]，
g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5=3x2-14x+5，
当x∈[-1，0]时，g（x）∈[5，22]，
∵[6，78]?[5，94]，
∴对任意x1∈[0，1]，不一定存在x2∈[-1，0]，g（x2）=f（x1）成立．
点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，关键是把问题转化为两函数在不同定义域内的值域间的关系问题，是中档题．
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| ||
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