Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为（　　）

• A、y²=-4x
• B、y²=4x
• C、x²=4y
• D、x²=-4y

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到抛物线的标准方程．

解答： 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则有y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
两式相减得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2p（x₁-x₂），
又因为直线的斜率为1，所以

y1-y2

x1-x2

=1，
所以有y₁+y₂=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y₁+y₂=4，所以p=2，
所以抛物线的标准方程为y²=4x．
故选B．

点评：本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，正确运用点差法是关键．